Les propositions de départ en mathématiques sont invérifiables

Blaise Pascal · XVIIe siècle

Thèse

Ouvrir un dictionnaire pour chercher le sens d'un mot inconnu ne fait que renvoyer à d'autres mots, eux-mêmes définis par d'autres mots encore – et si l'on remonte assez loin, certains mots très simples (« être », « chose », « un ») finissent par se définir les uns par les autres, en cercle, faute de pouvoir s'appuyer sur des termes plus fondamentaux. Pascal repère exactement le même problème en mathématiques : toute démonstration repose sur des termes primitifs qu'on ne peut pas définir et des axiomes qu'on ne peut pas prouver – parce que toute définition et toute preuve supposent des termes et des principes préalables. La géométrie parfaite est impossible : elle exige un point de départ indémontrable, connu par intuition ou postulat.

« Il est impossible de définir quoi que ce soit si l'on ne prend aucun terme comme connu. De même, il est impossible de démontrer quoi que ce soit si l'on ne suppose aucun principe comme vrai. » – De l'esprit géométrique, 1657

Exemples

Les termes primitifs (indéfinissables) : qu'est-ce qu'un point ? Une droite ? Euclide ne les définit pas vraiment – il les postule comme évidents. Toute définition de « point » exigerait d'autres termes, qui en exigeraient d'autres encore. Il faut s'arrêter quelque part.
Les axiomes (inprouvables) : « Par deux points passe une droite et une seule » – cela ne se démontre pas dans la géométrie euclidienne. On le pose comme vrai. Les mathématiques non euclidiennes (Gauss, Riemann) ont montré qu'on peut poser le contraire et obtenir des géométries cohérentes – preuve que les axiomes sont des choix, non des vérités absolues.

Notes

Pascal anticipe Gödel (1931) : tout système formel suffisamment puissant contient des propositions vraies mais indémontrables dans ce système. Il anticipe aussi Wittgenstein : la fondation ultime de toute règle est une pratique, une forme de vie – non une démonstration.

Débat

Descartes : les intuitions premières (comme les axiomes géométriques) sont des vérités claires et distinctes saisies par la raison – leur évidence est leur justification, non une absence de preuve. Leibniz : le fondement des vérités de raison n'est pas arbitraire mais logiquement nécessaire. Gödel (prolongement) : Pascal avait raison – tout système formel cohérent contient des propositions indécidables.